事実確認や証拠収集が十分な場合
事実確認及び証拠収集が十分であれば，相手方への慰謝料請求や，配偶者との離婚・慰謝料請求は可能です。
配偶者と離婚しない場合でも，配偶者に不貞行為を原因とする慰謝料請求が可能です。
ただ，離婚の慰謝料と異なり，不貞行為を原因とする慰謝料請求は配偶者と不倫相手の双方が連帯して負担することになりますので，例えば慰謝料額が１００万円とすると，不倫相手が１００万円を支払った場合，配偶者はもはや慰謝料を支払わなくてもよくなるとともに，不倫相手から求償権という名目で，責任の割合に応じて夫が１００万円の一部を不倫相手に返済する必要が出てきます。
ですので，もし話し合いで解決する場合でも，離婚せず，家計が一つである場合には特に，求償権の処理（配偶者に対して求償権を行使しない合意など）を行う必要があります。
請求に関しては，事実確認及び証拠が十分であれば，話し合いや調停，訴訟など様々な手続きを選ぶことができると思います。
一般的には，まずは話し合いをし，解決が難しければ調停や訴訟を選択することが多いでしょう。
なお，不倫相手も既婚者の場合，不倫相手の配偶者からこちらの配偶者に対する請求も考えられますので，不倫相手と話す場合も，無用なトラブルを避けるよう慎重に行動してください（例えば，こちらからの連絡で不貞が発覚してしまい，相手方配偶者からこちらの配偶者に莫大な請求がされることも考えられます。相手方が必ずしも冷静な対応をしてくるとは限りませんので，注意してください。）。
事実確認はできたが証拠収集が不十分な場合
配偶者や不倫相手が不貞行為を認め，謝罪してくることがありますが，その場合に，証拠が特に残っていないことがあります。
この場合，当座はよいのですが，後日，そんな話はしていないなど，否定してくることもあり，証拠がないとその先に進めなくなってしまうこともあります。
そのようなことがないようにするために，証拠が少ない場合には，できれば，配偶者と不貞相手に謝罪文のようなものを書いてもらいましょう。
そしてその中身として，いつからいつまで不貞をしていたこと，謝罪文言，誓約文言などを入れた上，日付，住所，氏名，連絡先を記入してもらい，押印してもらいましょう（印鑑がなければ指印でも良いです。）。
この書類を作成しておけば，完全とはいえないまでも，後日不用意に争われることはなくなると思います。
ただし，くれぐれも脅し文句などで記載させることはやめましょう（後日脅されたなど争われる可能性があります。可能であれば，公の目のある場（大衆がいる飲食店等）で冷静にお話しして記載してもらった方がよいです。）。
事実確認自体が不十分な場合
この場合には，まず事実確認をすることが優先になります。
事実確認が不十分な場合には，例えば，そもそも確証がなく配偶者へも話ができない場合や，配偶者に話をしてもはぐらかされたり，言い訳をされたりする場合があります。
このような場合には，話し合いを含め，請求することが非常に難しいと言わざるを得ません。
そもそも配偶者が否認している場合も多いでしょうし，証拠も不十分でしょうから，話し合い自体が難しい状況でしょう。
ですので，このような場合は，費用をかけてもかまわないのであれば，探偵や興信所の利用も視野に入れ，費用をかけない場合でも，少なくとも配偶者の行動について日記をつけておいたり，違法にはならない限度で，配偶者の情報を探ることになります。
どのような情報が取得可能なのかについては，ご自分で判断すると場合によって違法行為を行ってしまうこともあり得ますので，事前に弁護士に相談された方がよいと思います。
